周期函数是一类重要的特殊函数，其性质受到广泛关注。主要研究集中在其最小正周期的存在性、周期函数和函数的周期性等问题。
周期函数的定义：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
根据该定义可得到以下两个性质：
（1）如果f（x）定义在R上，且满足f（x+a）=f（x+b），那么f（x）是|a-b| (a-b≠0) 为周期的周期函数。
证明因为f（x+a）=f（x+b），所以x用x-b代换得：f（x+a-b）=f（x），故命题成立。
（2）如果f（x）定义在R上，且满足f（x+a）=-f（x+b），那么f（x）是2|a-b| (a-b≠0) 为周期的周期函数。
证明因为f（x+a）=-f（x+b），所以x用x-b代换得：f（x+a-b） =-f（x），x再用x+a-b代换得：f（x+2a-2b）=-f（x+a-b），因此f（x+2a-2b）=f（x）故命题成立。
学习周期函数时，经常会遇到以下几个问题：
问题1：函数的周期都是指函数的最小正周期吗？
我们知道，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫周期函数，非零常数T则称为这个函数的周期。一般地，如果不加特别说明，我们都可以认为周期T是指函数的最小正周期。但若f（x+T）=f（x），此时的T并不一定是函数f（x）的周期。
例如sin（x+π）=sin x对于x=0，π，2π，…都成立，但π并不是f（x）=sin x的周期，因为当x=
时，sin（x+π）≠sin x,f（x）=sin x的周期实际上为2π。
同时，还有些周期函数不存在最小正周期。如狄里克雷函数D（x）=
是没有最小正周期的函数。
问题2：求函数周期的常用方法有哪些？
求周期常用的方法有：定义法，公式法，图象法。
定义法较为简单，我们直接利用定义使f（x+T）=f（x），即可得出函数的周期。
公式法主要是利用公式T=
求出函数的周期。
图像法可以通过下边一个例题来帮助我们了解周期函数。
例：求f（x）=|
|的周期。
解：绘制f（x）=|
|的函数图图像，由图可知函数的周期为。